Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}+\frac{3}{4}，}&{x≥2}\\{lo{g}_{2}x，}&{0＜x＜2}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x）-k=0有且只有1個(gè)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≤$\frac{3}{4}$或k=1．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k有1個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：①當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減，且$\frac{3}{4}$＜f（x）≤1；
②當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，且f（x）＜1；
由g（x）=f（x）-k有且只有1個(gè)根可化為y=f（x）與y=k的1個(gè)交點(diǎn)，
則k≤$\frac{3}{4}$或k=1．
故答案為：k≤$\frac{3}{4}$或k=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．