Question

12．已知二次函數(shù)f（x）=x²-2（2a-1）x+5a²-4a+2．
（1）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值；
（2）設(shè)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為g（a），求g（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）配方可得f（x）=（x-2a+1）²+a²+1，當2a-1≥1時，f（x）的最大值為f（0）；當2a-1＜1時，f（x）的最大值為f（2），代值計算可得；
（2）分別可得當a＜1時g（a）＞3；當a≥1時g（a）_min=3，綜合可得．

解答 解：（1）配方可得f（x）=（x-2a+1）²+a²+1，
當2a-1≥1即a≥1時，f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為f（0）=5a²-4a+2；
當2a-1＜1即a＜1時，f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為f（2）=5a²-12a+10；
（2）由（1）知g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{5{a}^{2}-12a+10，a＜1}\\{5{a}^{2}-4a+2，a≥1}\end{array}\right.$，
當a＜1時g（a）=5a²-12a+10=5（a-$\frac{6}{5}$）²+$\frac{14}{5}$＞g（1），此時g（a）＞3；
當a≥1時g（a）=5a²-4a+2=5（a-$\frac{2}{5}$）²+$\frac{6}{5}$，當a=1時g（a）_min=g（1）=3；
綜上可得g（a）的最小值為3

點評 本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值，涉及分類討論的思想，屬中檔題．