Question

7．設(shè){a_n}是一個公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，已知S₉=90，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），由a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，可得$a_2^2={a_1}{a_4}$，即${（{a_1}+d）^2}={a_1}（{a_1}+3d）$，由${S_9}=9{a_1}+\frac{9×8}{2}d=90$，聯(lián)立解出即可得出．
（2）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），則a₂=a₁+d，a₄=a₁+3d，
由a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，可得$a_2^2={a_1}{a_4}$，
即${（{a_1}+d）^2}={a_1}（{a_1}+3d）$，
整理，可得a₁=d．
由${S_9}=9{a_1}+\frac{9×8}{2}d=90$，可得a₁=d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n．
（2）由于a_n=2n，
所以${b_n}=\frac{1}{4n（n+1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
從而${T_n}=\frac{1}{4}[（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]=\frac{1}{4}×\frac{n}{n+1}=\frac{n}{4n+4}$，
即數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為${T_n}=\frac{n}{4n+4}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．