Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{x+b}$，a＞b＞0，判斷f（x）在（-b，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析 先分離常數(shù)得到$f（x）=1+\frac{a-b}{x+b}$，從而可判斷f（x）在（-b，+∞）上單調(diào)遞減，根據(jù)減函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈（-b，+∞），且x₁＜x₂，然后作差，通分，證明f（x₁）＞f（x₂），這樣便可得出f（x）在（-b，+∞）上單調(diào)遞增．

解答 解：$f（x）=\frac{x+b+a-b}{x+b}=1+\frac{a-b}{x+b}$；
函數(shù)f（x）在（-b，+∞）上單調(diào)遞減，證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈（-b，+∞），且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{a-b}{{x}_{1}+b}-\frac{a-b}{{x}_{2}+b}$=$\frac{（a-b）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+b）（{x}_{2}+b）}$；
∵-b＜x₁＜x₂，a＞b；
∴x₂-x₁＞0，x₁+b＞0，x₂+b＞0，a-b＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-b，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評 考查分離常數(shù)法的運(yùn)用，減函數(shù)的定義，反比例函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)減函數(shù)的定義判斷和證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分．