Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{k{x}^{2}}{{e}^{x}}$（k＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)k=1時，若存在x＞0，使lnf（x）＞ax成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，對k討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，g（x）=$\frac{2lnx-x}{x}$（x＞0），存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等價于a＜g（x）_max，由此可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為R，求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=$\frac{-kx（x-2）}{{e}^{x}}$，
當(dāng)k＜0時，令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＜0，可得0＜x＜2
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，2）；
當(dāng)k＞0時，令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜2
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞）；
（2）當(dāng)k=1時，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，x＞0，1nf（x）＞ax成立，
等價于a＜$\frac{2lnx-x}{x}$，設(shè)g（x）=$\frac{2lnx-x}{x}$（x＞0）
存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等價于a＜g（x）_max，
g′（x）=$\frac{2（1-lnx）}{{x}^{2}}$，當(dāng)0＜x＜e時，g′（x）＞0；當(dāng)x＞e時，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．
∴g（x）_max=g（e）=$\frac{2}{e}$-1，
∴a＜$\frac{2}{e}$-1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查存在性問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．