Question

4．若橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F₁（-2，0）的距離為$\frac{13}{3}$，則△PF₁F₂的面積為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)出P（m，n），代入橢圓方程，求得橢圓的a，b，c，e，運(yùn)用橢圓的焦半徑公式解方程可得m=2，求得n，再由三角形的面積公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：設(shè)P（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{9}$+$\frac{{n}^{2}}{5}$=1，
橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的a=3，b=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{9-5}$=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，
由橢圓的焦半徑公式可得，
|PF₁|=a+em=3+$\frac{2}{3}$m=$\frac{13}{3}$，
解得m=2，n=±$\frac{5}{3}$，
則△PF₁F₂的面積為$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|n|=2•$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查焦點(diǎn)三角形的面積的求法，注意運(yùn)用焦半徑公式，屬于中檔題．