Question

13．若二項式（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展開式中的x³項大于15，且x為等比數列a_n的公比，則$\underset{lim}{n→∞}\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{{a}_{3}+{a}_{4}+…+{a}_{n}}$=1．

Answer 1

分析 T_r+1=${∁}_{6}^{r}$x^6-r$（\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=${∁}_{6}^{r}$${x}^{6-\frac{3r}{2}}$，令$6-\frac{3r}{2}$=3，解得r．由${∁}_{6}^{2}$x³＞15，解得x＞1．再利用等比數列的前n項和公式、極限運算性質即可得出．

解答 解：T_r+1=${∁}_{6}^{r}$x^6-r$（\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=${∁}_{6}^{r}$${x}^{6-\frac{3r}{2}}$，
令$6-\frac{3r}{2}$=3，解得r=2．
T₃=${∁}_{6}^{2}$x³，
∴${∁}_{6}^{2}$x³＞15，解得x＞1．
∵x為等比數列a_n的公比，
∴a₁+a₂+…+a_n=$\frac{{a}_{1}（{x}^{n}-1）}{x-1}$，a₃+a₄+…+a_n=$\frac{{a}_{1}{x}^{2}（{x}^{n-2}-1）}{x-1}$，
則$\underset{lim}{n→∞}\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{{a}_{3}+{a}_{4}+…+{a}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n}-1}{{x}^{n}-{x}^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1-\frac{1}{{x}^{n}}}{1-\frac{{x}^{2}}{{x}^{n}}}$=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了二項式定理的應用、等比數列的前n項和公式、極限運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．