Question

1．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)于任意n∈N^*，且n≥2，3S_n-4，a_n，2-$\frac{3}{2}$S_n-1總成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=3S_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和列T_n．

Answer 1

分析 （1）n≥2，3S_n-4，a_n，2-$\frac{3}{2}$S_n-1總成等差數(shù)列．可得2a_n=3S_n-4+2-$\frac{3}{2}$S_n-1，化為：4a_n=6S_n-3S_n-1-4．再利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵n≥2，3S_n-4，a_n，2-$\frac{3}{2}$S_n-1總成等差數(shù)列．
∴2a_n=3S_n-4+2-$\frac{3}{2}$S_n-1，
化為：4a_n=6S_n-3S_n-1-4．
當(dāng)n=2時(shí)，4a₂=6（2+a₂）-3×2-4，解得a₂=-1．
又4（S_n-S_n-1）=6S_n-3S_n-1-4，
化為：2S_n+S_n-1=4，
∴2S_n+1+S_n=4，
可得：2a_n+1+a_n=0，
∴${a}_{n+1}=-\frac{1}{2}{a}_{n}$，
又${a}_{2}=-\frac{1}{2}{a}_{1}$，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為-$\frac{1}{2}$．
∴a_n=2×$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$=（-1）^n-1•2^2-n．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{2[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{4}{3}$$[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．
數(shù)列{b_n}滿足b_n=3S_n=4$[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$=4-4×$（-\frac{1}{2}）^{n}$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和列T_n=4n-$\frac{-2[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$
=4n+$\frac{4}{3}$$[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．