Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，不等式f（x）≤3的解集為[-1，5]．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若f（x）+f（x+5）≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）≤3求解絕對(duì)值的不等式，結(jié)合不等式f（x）≤3的解集為[-1，5]列式求得實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）利用絕對(duì)值的不等式放縮得到f（x）+f（x+5）≥5，結(jié)合f（x）+f（x+5）≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）≤3，得|x-a|≤3，
∴a-3≤x≤a+3，
又f（x）≤3的解集為[-1，5]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3=-1}\\{a+3=5}\end{array}\right.$，解得：a=2；
（Ⅱ）∵f（x）+f（x+5）=|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x-3）|=5．
又f（x）+f（x+5）≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，
∴m≤5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問(wèn)題，考查了絕對(duì)值不等式的解法，是中檔題．