Question

12．在區(qū)間（-1，1）中隨機地取出兩個數(shù)m，n，求使方程x²+2mx-n²+1=0無實根的概率．

Answer 1

分析 由題意可得，區(qū)域$D=\left\{{（m，n）\left|{\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜1\\-1＜n＜1\end{array}\right.}\right.}\right\}$，邊長為2的正方形，面積為4，由方程方程x²+2mx-n²+1=0無實根，區(qū)域$A=\left\{{（x，y）\left|{\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜1\\-1＜n＜1\\{m^2}+{n^2}＜1\end{array}\right.}\right.}\right\}$，可求其面積，代入概率求解公式可求．

解答 解：記“方程x²+2mx-n²+1=0無實根”的事件為A
每個基本事件發(fā)生是等可能的
區(qū)域$D=\left\{{（m，n）\left|{\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜1\\-1＜n＜1\end{array}\right.}\right.}\right\}$，區(qū)域$A=\left\{{（x，y）\left|{\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜1\\-1＜n＜1\\{m^2}+{n^2}＜1\end{array}\right.}\right.}\right\}$．
所以$P（A）=\frac{A的面積}{D的面積}=\frac{π}{4}$．
答：方程x²+2mx-n²+1=0無實根的概率為$\frac{π}{4}$．

點評 本題主要考查了與面積有關的幾何概率的求解，解題的關鍵是根據(jù)積分知識求解出基本事件的區(qū)域面積．