Question

9．已知x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，若2x+y≥m²+7m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-8，1]．

Answer 1

分析 先把2x+y轉(zhuǎn)化為（2x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）展開后利用基本不等式求得其最小值，然后根據(jù)2x+y≥m²+7m恒成立求得m²+7m≤8，進(jìn)而求得m的范圍．

解答 解：∵$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，
∴（2x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）=4+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$≥4+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=8，當(dāng)且僅當(dāng)x=2，y=4時(shí)取等號(hào)，
∵2x+y≥m²+7m恒成立，
∴m²+7m≤8，解得-8≤m≤1，
故答案為：[-8，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．