Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x-a|-$\frac{9}{x}$，x∈[1，6]．
（1）a=1，解不等式f（x）≤1；
（2）x∈[1，6]，f（x）≤5恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=x-1-$\frac{9}{x}$，在[1，6]上為增函數(shù)，求得f（x）=1時x的值，可得不等式式f（x）≤1的解集．
（2）x∈[1，6]時，f（x）≤5恒成立，故f（x）_max≤5．根據(jù)函數(shù)f（x）=|x-a|-$\frac{9}{x}$，分類討論求得f（x）_max，可得a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=|x-1|-$\frac{9}{x}$=x-1-$\frac{9}{x}$，在[1，6]上為增函數(shù)，
不等式f（x）≤1，即 x-1-$\frac{9}{x}$≤1，
由x-1-$\frac{9}{x}$=1求得x=1+$\sqrt{10}$，故不等式的解集為[1，1+$\sqrt{10}$]．
（2）∵x∈[1，6]時，f（x）≤5恒成立，故f（x）_max≤5．
由于函數(shù)f（x）=|x-a|-$\frac{9}{x}$，
①當(dāng)a≤1時，f（x）=x-a-$\frac{9}{x}$，
f（x）在[1，6]上為增函數(shù)，故f（x）_max=f（6）=$\frac{9-a}{2}$≤5，求得a≥-1，故此時，-1≤a≤1．
②當(dāng)1＜a＜3時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a-x-\frac{9}{x}，1≤x＜a}\\{x-a-\frac{9}{x}，a≤x≤6}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)1≤x＜a＜3時，f′（x）=-1+$\frac{9}{{x}^{2}}$＞0，∴f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)a≤x≤6時，f′（x）=1+$\frac{9}{{x}^{2}}$＞0，∴f（x）是增函數(shù)；
故f（x）在在[1，6]上遞增，故f（x）_max=f（6）=6-a-$\frac{9}{6}$≤5，求得 a≥-$\frac{1}{2}$，故此時，1＜a＜3．
③當(dāng)3≤a≤6時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a-x-\frac{9}{x}，1≤x＜a}\\{x-a-\frac{9}{x}，a≤x≤6}\end{array}\right.$，
當(dāng)1≤x＜a時，f′（x）=-1+$\frac{9}{{x}^{2}}$＜0，∴f（x）是減函數(shù)，
當(dāng)a≤x≤6時，f′（x）=1+$\frac{9}{{x}^{2}}$＞0，∴f（x）是增函數(shù)，
再根據(jù)f（1）=a-1-9=a-10，f（6）=6-a-$\frac{9}{x}$，∴f（x）_max=f（6）=6-a-$\frac{9}{6}$≤5，求得 a≥-$\frac{1}{2}$，故此時，3≤a≤6．
④當(dāng)a＞6時，f（x）=|x-a|-$\frac{9}{x}$=a-x-$\frac{9}{x}$=a-（x+$\frac{9}{x}$）≤a-6，
故f（x）_max=a-6，由a-6≤5，求得a≤11，故此時，6＜a≤11．
綜合①②③④，可得a的范圍為[-1，11]．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法，分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值，屬于難題．