6.已知函數(shù)f(x)=|x-a|-$\frac{9}{x}$,x∈[1,6].
(1)a=1,解不等式f(x)≤1;
(2)x∈[1,6],f(x)≤5恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)當(dāng)a=1時,函數(shù)f(x)=x-1-$\frac{9}{x}$,在[1,6]上為增函數(shù),求得f(x)=1時x的值,可得不等式式f(x)≤1的解集.
(2)x∈[1,6]時,f(x)≤5恒成立,故f(x)max≤5.根據(jù)函數(shù)f(x)=|x-a|-$\frac{9}{x}$,分類討論求得f(x)max,可得a的范圍.

解答 解:(1)當(dāng)a=1時,函數(shù)f(x)=|x-1|-$\frac{9}{x}$=x-1-$\frac{9}{x}$,在[1,6]上為增函數(shù),
不等式f(x)≤1,即 x-1-$\frac{9}{x}$≤1,
由x-1-$\frac{9}{x}$=1求得x=1+$\sqrt{10}$,故不等式的解集為[1,1+$\sqrt{10}$].
(2)∵x∈[1,6]時,f(x)≤5恒成立,故f(x)max≤5.
由于函數(shù)f(x)=|x-a|-$\frac{9}{x}$,
①當(dāng)a≤1時,f(x)=x-a-$\frac{9}{x}$,
f(x)在[1,6]上為增函數(shù),故f(x)max=f(6)=$\frac{9-a}{2}$≤5,求得a≥-1,故此時,-1≤a≤1.
②當(dāng)1<a<3時,f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{a-x-\frac{9}{x},1≤x<a}\\{x-a-\frac{9}{x},a≤x≤6}\end{array}\right.$,
∴當(dāng)1≤x<a<3時,f′(x)=-1+$\frac{9}{{x}^{2}}$>0,∴f(x)是增函數(shù);
當(dāng)a≤x≤6時,f′(x)=1+$\frac{9}{{x}^{2}}$>0,∴f(x)是增函數(shù);
故f(x)在在[1,6]上遞增,故f(x)max=f(6)=6-a-$\frac{9}{6}$≤5,求得 a≥-$\frac{1}{2}$,故此時,1<a<3.
③當(dāng)3≤a≤6時,f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{a-x-\frac{9}{x},1≤x<a}\\{x-a-\frac{9}{x},a≤x≤6}\end{array}\right.$,
當(dāng)1≤x<a時,f′(x)=-1+$\frac{9}{{x}^{2}}$<0,∴f(x)是減函數(shù),
當(dāng)a≤x≤6時,f′(x)=1+$\frac{9}{{x}^{2}}$>0,∴f(x)是增函數(shù),
再根據(jù)f(1)=a-1-9=a-10,f(6)=6-a-$\frac{9}{x}$,∴f(x)max=f(6)=6-a-$\frac{9}{6}$≤5,求得 a≥-$\frac{1}{2}$,故此時,3≤a≤6.
④當(dāng)a>6時,f(x)=|x-a|-$\frac{9}{x}$=a-x-$\frac{9}{x}$=a-(x+$\frac{9}{x}$)≤a-6,
故f(x)max=a-6,由a-6≤5,求得a≤11,故此時,6<a≤11.
綜合①②③④,可得a的范圍為[-1,11].

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法,分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值,屬于難題.

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