Question

16．已知拋物線c：y²=2px，直線1：y=x-2與拋物C交于點A，B，與x軸交于點M．
（1）若拋物線焦點坐標(biāo)為（$\frac{1}{4}$，0），求拋物線C的方程及弦AB的中點坐標(biāo)；
（2）直線y=2x與拋物線C交于異于原點的點P，MP交拋物線C于另一點Q，求證：無論P如何變化，點Q始終在一條定直線上．

Answer 1

分析 （1）由題意知拋物線方程為y²=x，聯(lián)立直線l：y=x-2，結(jié)合韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，可得答案．
（2）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y}^{\;}=2x\\{y}^{2}=2px\end{array}\right.$得P（$\frac{p}{2}$，p），M（2，0），由此可知當(dāng)p變化時，點Q在一條定直線y=-4上．

解答 解：（1）若拋物線焦點坐標(biāo)為（$\frac{1}{4}$，0），則$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴2p=1，
故拋物線C的方程為：y²=x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y}^{\;}=x-2\\{y}^{2}=x\end{array}\right.$得：y²-y-2=0，
故y₁+y₂=2，即弦AB的中點縱坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，
代入直線l方程可得：x=$\frac{5}{2}$，
故AB的中點坐標(biāo)為：（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$）
證明：（2）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y}^{\;}=2x\\{y}^{2}=2px\end{array}\right.$得P（$\frac{p}{2}$，p），M（2，0）
PQ直線方程為y=$\frac{2p}{p-4}$（x-2）與拋物線y²=2px交點Q縱坐標(biāo)為-4
當(dāng)p變化時，點Q在一條定直線y=-4上．

點評 本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．