Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx-1，若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線2x+y-1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-m（x-1）（m∈R）恰有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間及實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)$f'（2）=\frac{1}{2}$，求出a的值即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍結(jié)合g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的極小值，結(jié)合極小值的正負(fù)，求出m的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．…（1分）
由$f'（x）=a-\frac{1}{x}$，且$f'（2）=\frac{1}{2}$，解得a=1．…（3分）
（2）因?yàn)間（x）=（1-m）（x-1）-lnx，x∈（0，+∞）
則$g'（x）=1-m-\frac{1}{x}=\frac{（1-m）x-1}{x}$．…（5分）
（�。┊�(dāng)1-m≤0即m≥1時(shí)，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
此時(shí)只存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．…（6分）
（ⅱ）當(dāng)m＜1時(shí)，令g'（x）=0，解得$x=\frac{1}{1-m}$．…（7分）
當(dāng)x變化時(shí)，g（x）與g'（x）的變化情況如下表：

x	（0，$\frac{1}{1-m}$）	$\frac{1}{1-m}$	$（\frac{1}{1-m}，+∞）$
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

由題意可知，$g{（x）_{極小}}=g（\frac{1}{1-m}）=m+ln（1-m）$．…（9分）
下面判斷極小值的正負(fù)．
設(shè)h（m）=m+ln（1-m），m＜1         …（10分）
①當(dāng)m=0時(shí)，h（0）=0，即g（x）_極小=0
此時(shí)g（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)不合題意．    …（11分）
②當(dāng)m≠0且m＜1時(shí)，$h'（m）=1-\frac{1}{1-m}=\frac{-m}{1-m}$
當(dāng)m＜0時(shí)，h'（m）＞0；    當(dāng)0＜m＜1時(shí)，h'（x）＜0
所以h（m）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）單調(diào)遞減．
所以h（m）＜h（0）=0，此時(shí)g（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)．   …（13分）
綜上，m的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1）．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．