Question

3．我市為了檢測(cè)空氣質(zhì)量，每天都要記錄空氣質(zhì)量指數(shù)（指數(shù)采用10分制，保留一位小數(shù)），現(xiàn)隨機(jī)抽取20天的指數(shù)，繪制成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖（以整數(shù)部分為莖，小數(shù)部分為葉），設(shè)指數(shù)不低于8.5的視為當(dāng)天空氣質(zhì)量為優(yōu)良．
（1）求從這20天中隨機(jī)抽取3天，至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率；
（2）以這20天的數(shù)據(jù)估計(jì)我市總體空氣質(zhì)量（天數(shù)很多）．若從我市總體空氣質(zhì)量指數(shù)中隨機(jī)抽取3天的指數(shù)，用X表示抽到空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖，利用對(duì)立事件的概率計(jì)算公式即可從這20天中隨機(jī)抽取3天，至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率；
（2）利用超幾何分布即可得到分布列，再利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）任意一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為$\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$，
記“至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率”為事件A，
則所求事件概率為：P（A）=C₃²×（$\frac{3}{5}$）²×$\frac{2}{5}$+（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{81}{125}$．
（2）X的所有可能取值為0，1，2，3，X～B（3，$\frac{3}{5}$）
P（X=0）=（$\frac{2}{5}$）³=$\frac{8}{125}$，P（X=1）=C₃¹×$\frac{3}{5}$×（$\frac{2}{5}$）²=$\frac{36}{125}$，
P（X=2）=C₃²×（$\frac{3}{5}$）²×$\frac{2}{5}$=$\frac{54}{125}$，
P（X=3）=（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{27}{125}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

Eξ=0×$\frac{8}{125}$+1×$\frac{36}{125}$+2×$\frac{54}{125}$+3×$\frac{27}{125}$=$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 正確理解莖葉圖、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、超幾何分布、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式、排列與組合的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．