Question

15．已知函數(shù)f（x）滿足2f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{3}{{x}^{2}}$，則f（x）的值域為（　�。�

• A． [2，+∞）
• B． [2$\sqrt{2}$，+∞）
• C． [3，+∞）
• D． [4，+∞）

Answer 1

分析 首先利用賦值法把把函數(shù)的解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步利用解方程組求出函數(shù)的解析式，進(jìn)一步利用基本不等式求出函數(shù)的值域．

解答 解：函數(shù)f（x）滿足2f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{3}{{x}^{2}}$，①
$以\frac{1}{x}代x$得：$2f（\frac{1}{x}）-f（x）=3{x}^{2}$②
則：①×2+②得到：$3f（x）=\frac{6}{{x}^{2}}+3{x}^{2}$
即：$f（x）=\frac{2}{{x}^{2}}+{x}^{2}$
利用基本不等式得到：$\frac{2}{{x}^{2}}+{x}^{2}≥2\sqrt{2}$
所以：函數(shù)f（x）的值域為：[2$\sqrt{2}$，+∞）
故選：B

點評 本題考查的知識要點：利用賦值法求函數(shù)的解析式，利用基本不等式求函數(shù)的值域．