Question

9．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足8S_n=a${\;}_{n}^{2}$+4a_n+3（∈N^*），且a₁＜3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{a}_{n}+3-3n}{{2}^{n-1}}$，設(shè){b_n}的前n項和為T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$對一切n∈N^*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式可得T_n，對n分類討論即可得出．

解答 解：（1）∵$8{S_n}={a_n}^2+4{a_n}+3$，
∴8S_n-1=${a}_{n-1}^{2}$+4a_n-1+3 （n≥2），
∴$8（{S_n}-{S_{n-1}}）={a_n}^2+4{a_n}-{a^2}_{n-1}-4{a_{n-1}}$，
∴${a_n}^2-{a^2}_{n-1}=4（{a_n}+{a_{n-1}}）$，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=4（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是以4為公差的等差數(shù)列，
又∵$8{S_1}={a_1}^2+4{a_1}+3$，
∴${a_1}^2-4{a_1}+3=0$而a₁＜3，
∴a₁=1，
∴a_n=4n-3 （n∈N^*）．
（2）${b_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，
${T_n}=1×\frac{1}{2^0}+2×\frac{1}{2^1}+3×\frac{1}{2^2}+…+（n-1）×\frac{1}{{{2^{n-2}}}}+n×\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，
$\frac{{T}_{n}}{2}$=$\frac{1}{2}+2×\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$（n-1）×\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
兩式相減得$\frac{T_n}{2}=\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-n×\frac{1}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$，
∴${T_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$，
∴${（-1）^n}λ＜4-\frac{2}{{{2^{n-1}}}}$．
若n為偶數(shù)，則$λ＜4-\frac{2}{{{2^{n-1}}}}，{\;}∴λ＜3$．
若n為奇數(shù)，則$-λ＜4-\frac{2}{{{2^{n-1}}}}$，∴-λ＜2，∴λ＞-2．
∴-2＜λ＜3．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．