Question

16．已知橢圓C中心在原點(diǎn)，長軸在x軸上，F(xiàn)₁、F₂為其左、右兩焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn)，PF₂⊥F₁F₂，且|PF₁|=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，|PF₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若傾斜角為45°的一動(dòng)直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值及相應(yīng)的直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用PF₂⊥F₁F₂，且|PF₁|=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，|PF₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，c，可得a²-c²=1，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線L的方程為y=x+b，與橢圓方程聯(lián)立消元得3x²+4bx+2b²-2=0；再由韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間的距離公式求|AB|的長度，再求點(diǎn)O到直線AB的距離，從而寫出△AOB的面積S，利用基本不等式求最值及最值點(diǎn)．從而得到直線l的方程．

解答 解：（1）∵PF₂⊥F₁F₂，且|PF₁|=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，|PF₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$，2c=$\sqrt{\frac{18}{4}-\frac{2}{4}}$=2，
∴a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴a²-c²=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）設(shè)直線L的方程為y=x+b，
則與$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1聯(lián)立消y可得3x²+4bx+2b²-2=0，
△=（4b）²-4×3×（2b²-2）＞0，
解得-$\sqrt{3}$＜b＜$\sqrt{3}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由韋達(dá)定理可得，x₁+x₂=-$\frac{4b}{3}$，x₁x₂=$\frac{2^{2}-2}{3}$；
故|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}•\sqrt{（-\frac{4b}{3}）^{2}-4×\frac{2^{2}-2}{3}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{12-4^{2}}$；
點(diǎn)O到直線AB的距離d=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$
故△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$$\sqrt{12-4^{2}}$×$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{（3-^{2}）^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{3}•\frac{3-^{2}+^{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（當(dāng)且僅當(dāng)3-b²=b²，即b=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)，等號(hào)成立）；
故此時(shí)直線L的方程為：y=x±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的求法及直線與圓錐曲線的交點(diǎn)及形成的圖象的面積問題，屬于中檔題．