Question

19．設(shè)等比數(shù)列{z_n}，其中z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai（a，b∈R，且a＞0）．
（1）求a，b的值；
（2）試求使z₁+z₂+…十z_n=0最小的正整數(shù)n；
（3）對(duì)（2）中的正整數(shù)n，求z₁•z₂•…•z₁₂的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)列式求得a，b的值；
（2）由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得到$（\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i）^{n}=1$，借助于棣莫弗定理求得使z₁+z₂+…十z_n=0最小的正整數(shù)n；
（3）由指數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及棣莫弗定理求值．

解答 解：（1）由z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai，且{z_n}是等比數(shù)列，
得（a+bi）²=1×（b+ai），即a²-b²+2abi=b+ai，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=b}\\{2ab=a}\end{array}\right.$，
∵a＞0，解得：$a=\frac{\sqrt{3}}{2}，b=\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得，等比數(shù)列{z_n}的公比為q=$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$，
∴z₁+z₂+…十z_n=$\frac{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i）^{n}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i}=0$，得$（\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i）^{n}=1$，
即$（cos\frac{π}{6}+isin\frac{π}{6}）^{n}=1$，∴$cos\frac{nπ}{6}+isin\frac{nπ}{6}=1$，
∴n的最小值為12；
（3）z₁•z₂•…•z₁₂=$（cos\frac{π}{6}+isin\frac{π}{6}）^{0+1+2+…+11}=（cos\frac{π}{6}+isin\frac{π}{6}）^{\frac{（1+11）×11}{2}}$=cos11π+isin11π=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了復(fù)數(shù)三角形式的乘除運(yùn)算，考查棣莫弗定理的應(yīng)用，是中檔題．