Question

17．如圖，G是△ABC的重心，過G的直線與邊AB，AC分別相交于點E，F(xiàn)，若AE=mAB，AF=nAC（mn≠0），求$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的值．

Answer 1

分析 由E，G，F(xiàn)三點共線，從而有向量共線，由兩個向量共線定理找到向量的等式，再由三角形法則轉(zhuǎn)化為用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表達(dá)，即可找出m，n的關(guān)系．

解答 解：∵E，G，F(xiàn)三點共線，
∴$\overrightarrow{AG}$=x$\overrightarrow{AE}$+（1-x）$\overrightarrow{AF}$，
即$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=xm$\overrightarrow{AB}$+（1-x）n$\overrightarrow{AC}$，
∴$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=xm$\overrightarrow{AB}$+（1-x）n$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$不共線，
∴$\left\{\begin{array}{l}{xm=\frac{1}{3}}\\{（1-x）n=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴x=$\frac{1}{3m}$，1-x=$\frac{1}{3n}$，
∴$\frac{1}{3m}$+$\frac{1}{3n}$=1，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=3．

點評 本題考查三點共線、向量共線的條件、向量的三角形法則和向量的表示等知識．抓住E、G、F三點共線，轉(zhuǎn)化為向量共線是解決本題的關(guān)鍵．