Question

8．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是同一平面內(nèi)的三個向量，其中$\overrightarrow{a}$=（1，2）．
（1）若$\overrightarrow{c}$=（-2，k），且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)；
（2）若|$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）由向量平行的性質(zhì)，能求出k．
（2）由向量垂直得（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，由此能求出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是同一平面內(nèi)的三個向量，
$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{c}$=（-2，k），且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，
∴$\frac{-2}{1}=\frac{k}{2}$，解得k=-4，
∴$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)為（-2，-4）．
（2）∵|$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=$2{\overrightarrow{a}}^{2}+3\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2{\overrightarrow}^{2}$=0，
∴2×5-3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-2×$\frac{5}{4}$=0，
整理，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-$\frac{5}{2}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=-1，
∵θ∈[0，π]，∴θ=π．

點評 本題考查向量的坐標(biāo)及兩向量夾角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意平面向量運算法則的合理運用．