Question

4．已知拋物線C的頂點(diǎn)為O（0，0），焦點(diǎn)為F（0，1）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線l：y=x+1交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，求三角形AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，能求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得x²-4x-4=0，利用弦長公式求出|AB|，利用點(diǎn)到直線距離公式求出O（0，0）到直線y=x+1的距離d，由此能求出三角形AOB的面積．

解答 解：（1）∵拋物線C的頂點(diǎn)為O（0，0），焦點(diǎn)為F（0，1），
∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²=4y．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得x²-4x-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，x₁x₂=-4，
|AB|=$\sqrt{（1+1）（16+16）}$=8，
O（0，0）到直線y=x+1的距離d=$\frac{|1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴三角形AOB的面積S=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=$\frac{1}{2}×8×\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線方程的求法，考查三角形面積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式的合理運(yùn)用．