14.已知函數(shù)f(x)=xlnx-x+$\frac{1}{2}$x2-$\frac{1}{3}$ax3,f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)若F(x)=f(x)+b,函數(shù)F(x)在x=1處的切線方程為2x+y-1=0,求a,b的值;
(2)若f′(x)≤-x+ax恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)F(x)在x=1處的切線方程為2x+y-1=0,F(xiàn)′(1)=-2,F(xiàn)(1)=-1,即可求a,b的值;
(2)若f′(x)≤-x+ax恒成立,a≥$\frac{lnx+2x}{x+{x}^{2}}$,求出右邊的最大值,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(1)∵函數(shù)$f(x)=xlnx-x+\frac{1}{2}{x^2}-\frac{1}{3}a{x^3}$,
∴F′(x)=lnx+x-ax2,
∵函數(shù)F(x)在x=1處的切線方程為2x+y-1=0,
∴F′(1)=-2,F(xiàn)(1)=-1,
∴1-a=-2,-1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}a$+b=-1,
∴a=3,b=$\frac{1}{2}$;
(2)lnx+x-ax2≤-x+ax,
∴a≥$\frac{lnx+2x}{x+{x}^{2}}$,
設(shè)g(x)=$\frac{lnx+2x}{x+{x}^{2}}$,則g′(x)=$\frac{(1+2x)(1-lnx-x)}{(x+{x}^{2})^{2}}$,
又h(x)=1-lnx-x,則h′(x)=-$\frac{1}{x}$-1<0
又因?yàn)閔(1)=0,所以(0,1),h(x)>0,(1,+∞),h(x)<0,
∴g(x)=$\frac{lnx+2x}{x+{x}^{2}}$在(0,1)上單調(diào)遞增,(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴g(x)max=1,
∴a≥1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查恒成立問(wèn)題,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.

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