Question

3．已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則△AOC與△ABC的面積之比為$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 分別取AC，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，根據(jù)$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=-3（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$），即2$\overrightarrow{OD}$=-6$\overrightarrow{OE}$，所以O(shè)為DE靠近E點(diǎn)的四等分點(diǎn)，利用三角形知識得出面積比．

解答 解：分別取AC，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，∵$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=-3（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$），∴2$\overrightarrow{OD}$=-6$\overrightarrow{OE}$，∴$\frac{OD}{DE}$=$\frac{3}{4}$．
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ACE}}$=$\frac{3}{4}$，又∵$\frac{{S}_{△ACE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{3}{8}$．
故答案為$\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評 考查向量在幾何中的應(yīng)用，以及向量加法的平行四邊形法則和向量共線定理等基礎(chǔ)知識，屬于中檔題．