11.設(shè)函數(shù)$f(x)=|{\frac{1}{x}-1}|$(x>0).
(1)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(不要求推理過程);
(2)是否存在正實數(shù)m,n(m<n),使函數(shù)f(x)的定義域為[m,n]時值域為$[\frac{m}{3},\frac{n}{3}]$?若存在,求m,n的值;若不存在,請說明理由.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行求解即可.
(2)根據(jù)函數(shù)定義域和值域的關(guān)系建立方程組關(guān)系進行求解即可.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1](或(0,1)),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞)(或[1,+∞))                                              …(4分)
(2)∵$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-1\\ 1-\frac{1}{x}\end{array}\right.$,$\begin{array}{l}x∈(0,1]\\ \\ x∈(1,+∞)\end{array}$…(6分)
∴若存在符合題意的m,n,則
①當(dāng)0<m<n≤1時,有$\left\{\begin{array}{l}f(m)=\frac{1}{m}-1=\frac{n}{3}\\ f(n)=\frac{1}{n}-1=\frac{m}{3}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}3-3m=mn\\ 3-3n=mn\end{array}\right.$
解得m=n,這與m<n相矛盾                        …(8分)
②當(dāng)0<m<1<n時,由于$f(1)=0∈[\frac{m}{3},\frac{n}{3}]$
∴$\frac{m}{3}$≤0<$\frac{n}{3}$,即m≤0<n,這與m>0相矛盾      …(10分)
③當(dāng)1≤m<n時,有$\left\{\begin{array}{l}f(m)=1-\frac{1}{m}=\frac{m}{3}\\ f(n)=1-\frac{1}{n}=\frac{n}{3}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-3m+3=0\\{n^2}-3n+3=0\end{array}\right.$
∴m,n是方程x2-3x+3=0的兩根
∵△=(-3)2-4×3=-3<0
∴x2-3x+3=0沒有實根,即不存在滿足題設(shè)的正實數(shù)m,n
…(13分)
綜上所述可知不存在正實數(shù)m,n滿足題設(shè).…(14分)

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及函數(shù)值域的求解和應(yīng)用,建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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P(K2>k)0.100.050.0250.0100.0050.001
k2.7063.8415.0246.6357.87910.828
參照附表,得到的正確結(jié)論是(  )
A.有99.5%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
B.有99.5%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
C.在犯錯誤的概率不超過0.05%的前提下,認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
D.在犯錯誤的概率不超過0.05%的前提下,認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”

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(1)y=ex•ln x;
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(2)求平面EFG與平面PAB夾角余弦值的大。

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