Question

4．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側(cè)棱AA₁垂直于底面ABC，∠ABC=$\frac{π}{2}$，AB=BC=AA₁=4，D為BC的中點(diǎn)．
（1）若E為棱CC₁的中點(diǎn)，求證：DE⊥A₁C；
（2）若E為棱CC₁上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，設(shè)CE與平面ADE所成角為α，求滿足sinα=$\frac{4\sqrt{61}}{61}$時CE的長．

Answer 1

分析 （1）以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DE⊥A₁C．
（2）求出平面ADE的法向量，由CE與平面ADE所成角α滿足sinα=$\frac{4\sqrt{61}}{61}$，利用向量法能求出CE．

解答 解：（1）以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=BC=AA₁=4，D為BC的中點(diǎn)，E為棱CC₁的中點(diǎn)，
∴D（0，2，0），E（0，4，2），A₁（4，0，4），C（0，4，0），
$\overrightarrow{DE}$=（0，2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-4，4，-4），
$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{{A}_{1}C}$=0+8-8=0，
∴DE⊥A₁C．
（2）設(shè)E（0，4，t），0≤t≤4，$\overrightarrow{CE}$=（0，0，t），A（4，0，0），
$\overrightarrow{AD}$=（-4，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（-4，4，t），
設(shè)平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-4x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-4x+4y+tz=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-$\frac{4}{t}$），
設(shè)CE與平面ADE所成角為α，滿足sinα=$\frac{4\sqrt{61}}{61}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{{t}^{2}}•\sqrt{5+\frac{16}{{t}^{2}}}}$=$\frac{4\sqrt{61}}{61}$，
解得t=3或t=-3（舍），
∴CE=3．

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查滿足條件的線段長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．