Question

14．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，它的長軸長為短軸長的3倍，且此橢圓經(jīng)過點(diǎn)A（3，1），求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，再由長軸是短軸長的3倍，結(jié)合過點(diǎn)A（3，1），列出關(guān)于a，b的方程組，解此方程組即可求得a或b的值，進(jìn)而可求得橢圓的方程．

解答 解：由題設(shè)可知，橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程．a(chǎn)=3b．
（1）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1
代入點(diǎn)A（3，1），可得$\frac{9}{9^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，∴b²=2
此時(shí)橢圓的方程是$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{9^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1．
代入點(diǎn)A（3，1），可得$\frac{1}{9^{2}}$+$\frac{9}{^{2}}$=1，∴b²=$\frac{82}{9}$
此時(shí)橢圓的方程是$\frac{{y}^{2}}{82}+\frac{{x}^{2}}{\frac{82}{9}}$=1．
綜上，所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$或$\frac{{y}^{2}}{82}+\frac{{x}^{2}}{\frac{82}{9}}$=1．

點(diǎn)評 本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)的運(yùn)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論思想、方程思想．屬于基礎(chǔ)題．