Question

5．（3）請(qǐng)認(rèn)真閱讀下列程序框圖：已知程序框圖中的函數(shù)關(guān)系式為$f（x）=\frac{4x-2}{x+1}$，程序框圖中的D為函數(shù)f（x）的定義域，把此程序框圖中所輸出的數(shù)x_i組成一個(gè)數(shù)列{x_n}
（Ⅰ）若輸入${x_0}=\frac{49}{65}$，請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)；
（Ⅱ）若輸出的無(wú)窮數(shù)列{x_n}是一個(gè)常數(shù)列，試求輸入的初始值x₀的值；
（Ⅲ）若輸入一個(gè)正數(shù)x₀時(shí)，產(chǎn)生的數(shù)列{x_n}滿足：任意一項(xiàng)x_n，都有x_n＜x_n+1，試求正數(shù)x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)f（x）解析式確定出D，把x₀=$\frac{49}{65}$代入程序框圖中計(jì)算，得到xi∉D時(shí)，確定出數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)即可；
（Ⅱ）根據(jù)輸出的無(wú)窮數(shù)列{x_n}是一個(gè)常數(shù)列，確定出輸入的初始值x₀的值即可；
（Ⅲ）根據(jù)題意列出不等式，根據(jù)正數(shù)x₀，求出解集，確定出正數(shù)x₀的取值范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)x₀=$\frac{49}{65}$時(shí)，x₁=f（$\frac{49}{65}$）=$\frac{11}{19}$，x₂=f（$\frac{11}{19}$）=$\frac{1}{5}$，x₃=f（$\frac{1}{5}$）=-1，
則輸出的數(shù)列為{$\frac{11}{19}$，$\frac{1}{5}$，-1}；
（Ⅱ）數(shù)列{x_n}是一個(gè)常數(shù)列，則有x₁=x₂=…=x_n=x₀，即x₀=f（x₀）=$\frac{4{x}_{0}-2}{{x}_{0}-1}$，
解得：x₀=1或x₀=2，
則輸入的初始值x₀為1或2時(shí)輸出的為常數(shù)列；
（Ⅲ）由題意知：x_n+1=f（x_n）=$\frac{4{x}_{n}-2}{{x}_{n}+1}$＞x_n，
∵x₀＞0，∴x_n＞0，有$\frac{4{x}_{n}-2}{{x}_{n}+1}$＞x_n，
得4x_n-2＞x_n（x_n+1），即x_n²-3x_n+2＜0，即（x_n-2）（x_n-1）＜0，
有x_n+1＞x_n，須（x₀-2）（x₀-1）＜0，
解得：1＜x₀＜2，
則當(dāng)正數(shù)x₀在（1，2）內(nèi)取值時(shí)，所輸出的數(shù)列{x_n}對(duì)任意正整數(shù)n滿足x_n＜x_n+1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了程序框圖，弄清程序框圖中的運(yùn)算程序是解本題的關(guān)鍵．