Question

7．PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物）．為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時間段車流量與PM2.5得數(shù)據(jù)如下表：

時間	周一	周二	周三	周四	周五
車流量x（萬輛）	50	51	54	57	58
PM2.5的濃度y（微克/立方米）	69	70	74	78	79

（Ⅰ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)求出y與x的線性回歸直線方程$\hat y=\hat bx+\hat a$，
（Ⅱ）若周六同一時間段車流量是25萬輛，試根據(jù)（Ⅰ）中求出的線性回歸方程預測此時PM2.5的濃度是多少？（保留整數(shù)）
參考公式其中$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$：方程$\hat y=\hat bx+\hat a$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算$\overline{x}$、$\overline{y}$與$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）和$\sum_{i=1}^{5}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$的值，求出$\stackrel{∧}$與$\stackrel{∧}{a}$，寫出線性回歸方程；
（Ⅱ）計算x=25時$\stackrel{∧}{y}$的值，即可預測出PM2.5的濃度．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得；
$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（50+51+54+57+58）=54，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（69+70+74+78+79）=74，…（2分）
$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=4×5+3×4+3×4+4×5=64，
$\sum_{i=1}^{5}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=（-4）²+（-3）²+3²+4²=50，
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{64}{50}$=1.28，…（4分）
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=74-1.28×54=4.88，…（6分）
故y關(guān)于x的線性回歸方程是：$\stackrel{∧}{y}$=1.28x+4.88；…（8分）
（Ⅱ）當x=25時，$\stackrel{∧}{y}$=1.28×25+4.88=36.88≈37，
所以可以預測此時PM2.5的濃度約為37．…（12分）

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，也考查了計算能力的應用問題，是基礎(chǔ)題目．