Question

6．已知函數(shù)y=f（x）的圖形如圖所示，給出y=f（x）與x=10和x軸所圍成圖形的面積估計(jì)值；要想得到誤差不超過(guò)1的面積估計(jì)值，可以怎么做？

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=ax³+bx²+cx+d，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，利用定積分求出面積估計(jì)值；若要誤差小可分段求出f（x）的解析式，然后使用定積分求出面積．

解答 解：設(shè)f（x）=ax³+bx²+cx+d，則f′（x）=3ax²+2bx+c，
由圖象可知$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f（1）=1}\\{f′（4）=0}\\{f′（7）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{d=0}\\{a+b+c=0}\\{\frac{c}{3a}=28}\\{-\frac{2b}{3a}=11}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{137}}\\{b=-\frac{33}{137}}\\{c=\frac{168}{137}}\\{d=0}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\frac{2}{137}$x³-$\frac{33}{137}$x²+$\frac{168}{137}$x．
∴S=${∫}_{0}^{10}$f（x）dx=（$\frac{2}{137}×\frac{{x}^{4}}{4}$-$\frac{33}{137}$×$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{168}{137}$×$\frac{{x}^{2}}{2}$）|$\left.\begin{array}{l}{10}\\{0}\end{array}\right.$≈17.5．
若要想得到誤差不超過(guò)1的面積估計(jì)值，
可使用分段函數(shù)求出f（x）的解析式，然后使用定積分求出面積．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定積分在求面積中的應(yīng)用，求出f（x）的解析式是關(guān)鍵．