Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，則a_n=$\frac{{2}^{n-2}}{3•{2}^{n-2}-1}$．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式兩邊取倒數(shù)，可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}-3$}構(gòu)成以-2為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式后可得a_n．

解答 解：由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{2}\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{3}{2}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-3=\frac{1}{2}（\frac{1}{{a}_{n}}-3）$，
∵$\frac{1}{{a}_{1}}-3=-2≠0$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}-3$}構(gòu)成以-2為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}-3=-2（\frac{1}{2}）^{n-1}=-\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
則$\frac{1}{{a}_{n}}=3-\frac{1}{{2}^{n-2}}=\frac{3•{2}^{n-2}-1}{{2}^{n-2}}$，
∴${a}_{n}=\frac{{2}^{n-2}}{3•{2}^{n-2}-1}$．
故答案為：$\frac{{2}^{n-2}}{3•{2}^{n-2}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．