Question

1．已知函數(shù)f（x）=2|x+1|+|x-2|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若a，b，c均為正實數(shù)，且滿足a+b+c=m，求證：$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥3．

Answer 1

分析 （1）討論x的取值，脫去函數(shù)f（x）的絕對值，求出f（x）的最小值m；
（2）根據(jù)a+b+c=m=3，利用基本不等式求出$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$+（a+b+c）的最小值，即可證明結(jié)論成立．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2|x+1|+|x-2|，
當(dāng)x＜-1時，f（x）=-2（x+1）-（x-2）=-3x∈（3，+∞）；
當(dāng)-1≤x＜2時，f（x）=2（x+1）-（x-2）=x+4∈[3，6）；
當(dāng)x≥2時，f（x）=2（x+1）+（x-2）=3x∈[6，+∞）；
綜上，f（x）的最小值為m=3；
（2）a，b，c均為正實數(shù)，且滿足a+b+c=m=3，
又因為$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$+（a+b+c）=（$\frac{^{2}}{a}$+a）+（$\frac{{c}^{2}}$+b）+（$\frac{{a}^{2}}{c}$+c）
≥2（$\sqrt{\frac{^{2}}{a}•a}$+$\sqrt{\frac{{c}^{2}}•b}$+$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{c}•c}$）=2（a+b+c），
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時，取“=”，
所以，$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥a+b+c，
即$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥3．

點評 本題考查了求含絕對值函數(shù)的最小值問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．