Question

11．已知平面向量$\overrightarrow a=（λ，2）$，$\overrightarrow b=（-3，5）$，其中λ∈R．
（Ⅰ）若$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上的投影為$\sqrt{34}$，求λ的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為銳角，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用$\sqrt{34}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$，解得λ即可．
（II）由$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為銳角，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＞0，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不能同向共線．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上的投影為$\sqrt{34}$，∴$\sqrt{34}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{-3λ+10}{\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}}$，解得λ=-8．
（II）∵$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為銳角，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＞0，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不能同向共線．
∴-3λ+10＞0，5λ+6≠0，
解得$λ＞\frac{10}{3}$．
∴λ的取值范圍是$λ＞\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量的投影、向量的夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．