Question

13．已知線段AB的端點B（4，6），端點A在圓（x-4）²+y²=100上移動．
（1）若線段AB的中點為M，那么點M的軌跡C是什么曲線
（2）若直線l：mx-y+1-m=0，求直線1被曲線C截得的最長和最短的弦的長及此時m的值．

Answer 1

分析 （1）設出M，A的坐標，確定動點之間坐標的關系，利用端點A在圓（x-4）²+y²=100上運動，可得軌跡方程．
（2）將直線l的方程變形提出m，根據(jù)直線方程的斜截式，求出直線恒過點（1，1），直線l截圓所得的弦最長時，一定過圓心；當弦長最短時，直線的斜率，即可求得直線方程．

解答 解：（1）設線段AB中點為M（x，y），A（m，n），則m=2x-4，n=2y-6
∵端點A在圓（x-4）²+y²=100運動，
∴（m-4）²+n²=100，
∴（2x-8）²+（2y-6）²=100
∴（x-4）²+（y-3）²=25
∴線段AB中點M的軌跡是以（4，3）為圓心，5為半徑的圓．
（2）∵直線L：mx-y+1-m=0即為y=m（x-1）+1
∴直線l恒過（1，1），在圓（x-4）²+（y-3）²=25的內部
被圓截得的弦最長的直線一定過圓心，方程為y-1=$\frac{3-1}{4-1}$（x-1），即2x-3y+1=0，此時m=$\frac{2}{3}$；
它的圓心為C（4，3），由弦長最短，可得最短時，直線的斜率為-$\frac{3}{2}$，故直線的方程為3x+2y-5=0，此時m=-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查代入法的運用，確定動點之間坐標的關系是關鍵．判斷直線與圓的位置關系，一般利用圓心與直線的距離與半徑的大小關系加以判斷，有時也可轉化為直線恒過的點來判斷．