Question

4．設(shè)f（x）為一多項(xiàng)式，若（x+1）f（x）除以x²+x+1的余式為5x+3，則f（x）除以x²+x+1的余式為2x+5．

Answer 1

分析 根據(jù)多項(xiàng)式的余式定理，設(shè)f（x）=（x²+x+1）×q（x）+r（x），由題意得到（x²+x+1）|[r（x）（x+1）-5x-3]，設(shè)r（x）=ax+b，求出a，b的值即可．

解答 解：設(shè)f（x）=（x²+x+1）×q（x）+r（x），
則（x+1）f（x））=[（x²+x+1）×q（x）+r（x）]]（x+1）=（x²+x+1）×g（x）+5x+3，
所以（x²+x+1）|[r（x）（x+1）-5x-3]．
設(shè)r（x）=ax+b，
則（x²+x+1）|[ax²+（a+b-5）x+b-3]，
所以a=a+b-5=b-3，解得a=2，b=5，
所以余式為2x+5，
故答案為：2x+5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了多項(xiàng)式的余式定理，整系數(shù)多項(xiàng)式f（x）除以（x-a）商為q（x），余式為r，則f（x）=（x-a）q（x）+r．屬于中檔題．