Question

9．已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）．
（1）求頂點C的軌跡λ的方程，并判斷軌跡λ為何種曲線；
（2）當m=-$\frac{3}{4}$時，設點P（0，1），過點P作直線l與曲線λ交于E，F兩點，且$\overrightarrow{FP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{PE}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）令C點坐標為（x，y），QC 直線AC，直線BC的斜率，利用AC，BC所在直線的斜率之積等于m，求出軌跡方程，分類討論圖形．
（2）求出曲線C的方程，通過直線l的斜率不存在時，以及斜率垂直時，直線l的方程為y=kx+1，代入橢圓方程，設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），通過$\overrightarrow{FP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PE}$得，以及韋達定理求解直線l的方程．

解答 解：（1）令C點坐標為（x，y），
則直線AC的斜率${k_1}=\frac{{y+\sqrt{3}}}{x}$，直線BC的斜率${k_2}=\frac{{y-\sqrt{3}}}{x}$，
所以有${k_1}{k_2}=\frac{{y-\sqrt{3}}}{x}•\frac{{y+\sqrt{3}}}{x}=\frac{{{y^2}-3}}{x^2}=m$，
化簡得，$-\frac{m}{3}{x^2}+\frac{y^2}{3}=1（x≠0）$．…（2分）
所以當m=-1時，λ表示以（0，0）為圓心，$\sqrt{3}$為半徑的圓，且除去$（{0，-\sqrt{3}}），（{0，\sqrt{3}}）$兩點；
當m＜-1時，軌跡λ表示焦點在y軸上的橢圓，且除去$（{0，-\sqrt{3}}），（{0，\sqrt{3}}）$兩點；當-1＜m＜0時，
軌跡λ表示焦點在x軸上的橢圓，且除去$（{0，-\sqrt{3}}），（{0，\sqrt{3}}）$兩點；
當m＞0時，軌跡λ表示焦點在y軸上的雙曲線，且除去$（{0，-\sqrt{3}}），（{0，\sqrt{3}}）$兩點．…（6分）
（2）由題意知當$m=-\frac{3}{4}$時曲線C為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（x≠0）$，…（7分）
當直線l的斜率不存在時，不符合題意．…（8分）
設直線l的方程為y=kx+1，代入橢圓方程整理得（3+4k²）x²+8kx-8=0．
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由$\overrightarrow{FP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PE}$得，x₁=-3x₂．
由韋達定理得${x_1}+{x_2}=\frac{-8k}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{-8}{{3+4{k^2}}}$，…（10分）
所以${x_2}=\frac{4k}{{3+4{k^2}}}$，${x_2}^2=\frac{8}{{3（3+4{k^2}）}}$，消去x₂，解得$k=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
所以直線l的方程為$y=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+1$．…（13分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查分析問題解決問題的綜合應用，考查計算能力．