Question

10．已知直線l：x+y-4=0，定點(diǎn)P（2，0），E，F(xiàn)分別是直線l和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則△PEF的周長的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{10}$
• B． 6
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求得點(diǎn)P（2，0）關(guān)于直線l：x+y-4=0的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)，再求得P′關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P″的坐標(biāo)，可得此時(shí)△PEF的周長的最小值為PP″，計(jì)算求得結(jié)果．

解答 解：如圖所示：設(shè)P′是點(diǎn)P（2，0）關(guān)于直線l：x+y-4=0的對稱點(diǎn)，設(shè)P′（a，b），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-0}{a-2}=-1}\\{\frac{a+2}{2}+\frac{b+0}{2}-4=0}\end{array}\right.$求得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，可得P′（4，2）．
設(shè)P′關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P″（m，n），易得P″（-4，2），則直線PP″和y軸的交點(diǎn)為F，
FP′和直線l的交點(diǎn)為E，則此時(shí)，
△PEF的周長為EF+EP+PF=EF+EP′+PF=P′F+PF=P″F+PF=PP″=2$\sqrt{10}$，
為最小值，
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，線段的中垂線的性質(zhì)，三點(diǎn)共線的性質(zhì)，屬于中檔題．