Question

5．已知直線$\sqrt{2}$ax+by=1（其中a，b為非零實數(shù)），與圓x+y²=1相交于A，B兩點，O為坐標原點，且△AOB為直角三角形，則$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$的最小值為（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 5
• D． 8

Answer 1

分析 由直線$\sqrt{2}$ax+by=1（其中a，b為非零實數(shù)）與圓x²+y²=1相交于A，B兩點，且△AOB為直角三角形，可得|AB|=$\sqrt{2}$．圓心O（0，0）到直線$\sqrt{2}$ax+by=1的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得2a²+b²=2．再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵直線$\sqrt{2}$ax+by=1（其中a，b為非零實數(shù)）與圓x²+y²=1相交于A，B兩點，且△AOB為直角三角形，
∴|AB|=$\sqrt{2}$r=$\sqrt{2}$．
∴圓心O（0，0）到直線$\sqrt{2}$ax+by=1的距離d=$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化為2a²+b²=2．
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$=$\frac{1}{2}$（2a²+b²）（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$）=$\frac{1}{2}$（4+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{4{a}^{2}}{^{2}}$）≥$\frac{1}{2}$（4+2$\sqrt{\frac{^{2}}{{a}^{2}}•\frac{4{a}^{2}}{^{2}}}$）=4，當且僅當b²=2a²=1取等號．
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$的最小值為4．
故選：A．

點評 本題考查了直線與圓相交問題弦長問題、點到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．