Question

20．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AC=4，BC=3，AB=5，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求直線AB₁與平面BB₁C₁C所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BC₁∩CB₁于點(diǎn)O，連結(jié)OD，則OD$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，由此能證明AC₁∥平面CDB₁．
（2）推導(dǎo)出AC⊥BC，AC⊥C₁C，從而∠AB₁C是直線AB₁與平面B₁BCC₁所成角，由此能求出直線AB₁與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

解答 證明：（1）如圖，設(shè)BC₁∩CB₁于點(diǎn)O，連結(jié)OD，
∵O、D分別是BC₁和AB的中點(diǎn)，∴OD$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，
又∵OD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（2）∵AC=4，BC=3，AB=5，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，∴AC⊥C₁C，
又BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁，
∴直線B₁C是斜線AB₁在平面B₁BCC₁上的射影，
∴∠AB₁C是直線AB₁與平面B₁BCC₁所成角，
在Rt△AB₁C中，B₁C=5，AC=4，
∴tan∠AB₁C=$\frac{4}{5}$，
即直線AB₁與平面BB₁C₁C所成角的正弦值為$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查直線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意綜合法的合理運(yùn)用．