【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,ADBC,BC=2AD,E,F分別為ADBC的中點(diǎn),AE=EF.將四邊形ABFE沿EF折起,使平面ABFE⊥平面EFCD(如圖2),GBF的中點(diǎn).

1)證明:ACEG

2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)H,使得DH∥平面ABFE?若存在,求的值;若不存在,說明理由;

3)求二面角D-AC-F的大。

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)

【解析】

(1)推導(dǎo)出,,從而平面,進(jìn)而,四邊形為正方形,,由此能證明平面,從而;(2)由,,兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,由此利用向量法能求出在線段上存在一點(diǎn),使得平面,并能求出的值;(3)求出平面的法向理和平面的法向量,利用向量法能求出二面角的大小.

證明:(1)在圖1中,

可得△AEF為等腰直角三角形,AE⊥EF.

因?yàn)?/span>AD∥BC,所以EF⊥BF,EF⊥FC.

因?yàn)槠矫?/span>ABFE⊥平面EFCD,且兩平面交于EF,CF平面CDEF,

所以CF⊥平面ABFE.

EG平面ABFE,故CF⊥EG;

G為中點(diǎn),可知四邊形AEFG為正方形,所以AF⊥EG;

AF∩FC=F,所以EG⊥平面AFC.又AC平面AFC,所以AC⊥EG

(2)由(1)知:FE,F(xiàn)C,F(xiàn)B兩兩垂直,如圖建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz,

設(shè)FE=1,則F(0,0,0),C(0,2,0),B(0,0,2),D(1,1,0).

設(shè)H是線段BC上一點(diǎn),

因此點(diǎn)

由(1)知為平面ABFE的法向量,=(0,2,0),

因?yàn)?/span>平面ABFE,所以平面當(dāng)且僅當(dāng)

,解得

(3)設(shè)A(1,0,1),E(1,0,0),G(0,0,1).

由(1)可得,是平面的法向量,

設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),

x=1,則y=1,z=1.于是n=(1,1,1).

所以

所以二面角D-AC-F的大小為90°

練習(xí)冊(cè)系列答案
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喜愛打籃球

不喜愛打籃球

合計(jì)

男生


5


女生

10



合計(jì)



50

已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為

1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整;

2)是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)?說明你的理由.下面的臨界值表供參考:


0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005]

0.001


2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:,其中)

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【題目】(本小題滿分12分)如圖,曲線由上半橢圓和部分拋物線 連接而成, 的公共點(diǎn)為,其中的離心率為.

)求的值;

)過點(diǎn)的直線分別交于(均異于點(diǎn)),若,求直線的方程.

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(1)求曲線段OABC對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式;

(2)若計(jì)劃在河流OC和觀光帶OABC之間新建一個(gè)如圖所示的矩形綠化帶MNPQ,綠化帶由線段MQQP, PN構(gòu)成,其中點(diǎn)P在線段BC上.當(dāng)OM長(zhǎng)為多少時(shí),綠化帶的總長(zhǎng)度最長(zhǎng)?

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1)完成列聯(lián)表,并回答能否有99%的把握認(rèn)為對(duì)線上教育是否滿意與性別有關(guān);

滿意

不滿意

總計(jì)

男生

30

女生

15

合計(jì)

120

2)從被調(diào)查的對(duì)線上教育滿意的學(xué)生中,利用分層抽樣抽取8名學(xué)生,再在8名學(xué)生中抽取3名學(xué)生,作線上學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)介紹,其中抽取男生的個(gè)數(shù)為,求出的分布列及期望值.

參考公式:附:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

0.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10828

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A.甲、乙、丙三人至少一人選化學(xué)與全選化學(xué)是對(duì)立事件

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1)用X表示抽取的3人中是抖音迷的員工人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;

2)設(shè)A為事件抽取的3人中,既有是抖音迷的員工,也有非抖音迷的員工,求事件A發(fā)生的概率.

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