如圖，已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，橢圓C與x軸的兩交點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合)，且∠APB＝2a，∠F₁PF₂＝2β．

(Ⅰ)若β＝45°，三角形F₁PF₂的面積為36，求橢圓C的方程；

(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動時(shí)，試證明tanβ·tan2a是定值．

已知a∈R，函數(shù)(x∈R)．

(Ⅰ)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅱ)函數(shù)f(x)是否在R上單調(diào)遞減，若是，求出a的取值范圍；若不是，請說明理由；

(Ⅲ)若函數(shù)f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：PA∥平面BFD；

(Ⅱ)求證：平面PAC⊥平面BDF．

如圖，已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，橢圓C與x軸的兩交點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合)，且∠APB＝2a，∠F₁PF₂＝2β．

(Ⅰ)若β＝45°，三角形F₁PF₂的面積為36，求橢圓C的方程；

(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動，試證明tanβ·tan2a為定值．

已知a∈R，函數(shù)f(x)＝(－x²＋ax)e^x(x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))．

(Ⅰ)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(Ⅲ)函數(shù)f(x)是否為R上的單調(diào)函數(shù)，若是，求出a的取值范圍；若不是，請說明理由．

如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：PA∥平面BFD；

(Ⅱ)求二面角C－BF－D的正切值．

已知點(diǎn)的序列A_n(x_n，0)，n∈N^*，其中x₁＝0，x₂＝a(a＞0)，A₃是線段A₁A₂的中點(diǎn)，A₄的線段A₂A₃的中點(diǎn)，…，A_n是線段A_n－2A_n－1的中點(diǎn)，…

(1)寫出x_n與x_n－1、x_n－2之間的關(guān)系式(n≥3)；

(2)設(shè)a_n＝x_n+1－x_n，計(jì)算a₁，a₂，a₃，由此推測數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．