已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量

OA

=（sinα，1），

OB

=（cosα，0），

OC

=（-sinα，2），點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上的一點(diǎn)，且

AB

=

BP

．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用α表示）；
（2）若O，P，C三點(diǎn)共線(xiàn)，求以線(xiàn)段OA，OB為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)；
（3）（文科）記函數(shù)f（α）=

BP

•

CA

，且f（

θ

2

）=

3 2

5

，求sin2θ的值．
（3）（理科）記函數(shù)f（α）=

BP

•

CA

，α∈（-

π

8

，

π

2

），討論函數(shù)f（α）的單調(diào)性，并求其值域．

已知命題A：1≤m≤3，命題B：2＜m＜4，若A，B中有且只有一個(gè)真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+bx（a＞0），g（x）=x²
（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），是否存在k和m，使得f（x）≤kx+m，g（x）≥kx+m？若存在，求出k和m的值，若不存在，說(shuō)明理由
（2）設(shè)G（x）=g（x）-f（x）+2有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且x₁，x₀，x₂成等差數(shù)列，G′（x）是G（x）的導(dǎo)函數(shù)，求證：G′（x₀）＞0．

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ABC=

π

2

，AB=BC=

1

2

AD=2，PA=PB=PC=2．
（1）證明：CD⊥平面PAC；
（2）若E為PC的中點(diǎn)，直線(xiàn)PB與平面AED交于點(diǎn)F，求三棱錐P-AEF的體積．

已知函數(shù)f（x）=（ax²+x-1）e^x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R，
（Ⅰ）若a≤-

1

2

，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若a=-1，對(duì)任意的x∈（-∞，0），都有f（x）＞

1

3

x³+

1

2

x²+m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的圖象如圖所示．
（1）求該函數(shù)的解析式；      
（2）若g（x）=f（x-

π

8

），判斷g（x）的奇偶性．

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC邊上（不與B，C重合），∠EAF=45°，問(wèn)以BE、EF、FC三條線(xiàn)段為邊，是否總能構(gòu)成直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明結(jié)論及理由．

已知橢圓E的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），離心率等于

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）斜率為-

1

2

的直線(xiàn)l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)m，直線(xiàn)m與x軸相交于點(diǎn)Q，求證：∠F₁PQ=∠F₂PQ．

已知y=2x²+mx+5的值恒為正，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

已知方程2x²+3x-m=0，問(wèn)：m為何值時(shí)，
（1）方程有一個(gè)根為0；
（2）方程的兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)．