敘述橢圓的定義，并推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

設(shè)橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）兩頂點(diǎn)A（-b，0），B（b，0），短軸長為4，焦距為2，過點(diǎn)P（4，0）的直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）求線段C，D中點(diǎn)Q的軌跡方程；
（3）若直線AC的斜率為1，在橢圓上求一點(diǎn)M，使三角形△MAC面積最大．

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n-2a_n+1+a_n+2=0（n∈N^*），且a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

a2n-1+1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求滿足S_n＞

510

511

的最小正整數(shù)n的值．

已知點(diǎn)F是橢圓

x2

1+a2

+y2=1（a＞0）的右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線x=-a的距離．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)F任作一直線與點(diǎn)P的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，直線OA、OB與直線x=-a分別交于點(diǎn)S、T（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試判斷

FS

•

FT

是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A，F(xiàn)分別為橢圓C的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過F的直線l交橢圓C于點(diǎn)P，Q．若AF=3，且當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，PQ=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為k₁，k₂，問k₁k₂是否為定值？并證明你的結(jié)論；
（3）記△APQ的面積為S，求S的最大值．

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-3|-|x+1|，x∈R．
（1）解不等式f（x）＜-1；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=|x+a|-4，且g（x）≤f（x）在x∈[-2，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知F（1，0）橢圓C₁的右焦點(diǎn)且F為雙曲線C₂的右頂點(diǎn)，橢圓C₁與雙曲線C₂的一個(gè)交點(diǎn)是M（

2 3

3

，

3

3

）．
（Ⅰ）求橢圓C₁及雙曲線C₂的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，直線PF交y軸于點(diǎn)Q，試問以線段PQ為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)？證明你的結(jié)論．

已知函數(shù)f（x）=e^x-2x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求曲線f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若存在x∈[

1

2

，2]，使不等式f（x）＜mx成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為a、b、c，己知A=

π

6

，c=

3

，b=1，
（1）求a的長及B的大�。�
（2）若0＜x＜B，求函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2

2

cos²x-

3

的值域．

拋擲一枚質(zhì)地不均勻的骰子，出現(xiàn)向上點(diǎn)數(shù)為1，2，3，4，5，6的概率依次記為p₁，p₂，p₃，p₄，p₅，p₆，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)列{p_n}恰好構(gòu)成等差數(shù)列，且p₄是p₁的3倍．
（Ⅰ）求數(shù)列{p_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）甲、乙兩人用這枚骰子玩游戲，并規(guī)定：擲一次骰子后，若向上點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否則已獲勝，請(qǐng)問這樣的規(guī)則對(duì)甲、乙二人是否公平？請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ）甲、乙、丙三人用這枚骰子玩游戲，根據(jù)擲一次后向上的點(diǎn)數(shù)決定勝出者，并制定了公平的游戲方案，試在下面的表格中列舉出兩種可能的方案（不必證明）．

方案序號(hào)	甲勝出對(duì)應(yīng)點(diǎn)數(shù)	乙勝出對(duì)應(yīng)點(diǎn)數(shù)	丙勝出對(duì)應(yīng)點(diǎn)數(shù)
①
②