15．如圖，正方體ABC-A₁B₁C₁D₁中，M是棱BB₁的中點．
（1）求直線A₁M與平面AMC₁所成角的正弦值；
（2）求二面角A-MC₁-A₁的余弦值．

14．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$+1，m∈R．
（Ⅰ）當(dāng)m=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）討論函數(shù)g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$零點的個數(shù)．

13．已知動圓M經(jīng)過點G（0，-1），動圓M的圓心軌跡為橢圓E，且與圓Q：x²+（y-1）²=8內(nèi)切，已知點S是橢圓E是一個動點，又點T（0，m）．求|ST|的最小值．

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的下頂點為B（0，-1），B到焦點煌距離為2．
（1）設(shè)Q是橢圓上的動點，求|BQ|的最大值；
（2）直線l過定點P（0，2）與橢圓C交于兩點M，N，△BMN的面積為$\frac{6}{5}$，求直線l的方程．

11．已知橢圓的左右焦點為F₁、F₂，點A（2，$\sqrt{2}$）在橢圓上，且AF₂與x軸垂直，求過A作直線與橢圓交于另外一點B，求△AOB面積的最大值．

10．已知$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}$=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，點A（2，2）在橢圓上，且AF₂與x軸垂直，過A作直線與橢圓交于另一點于B，求△AOB面積的最大值．

9．如圖1，已知在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E為CD的中點，沿AE將△AED折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如圖2，F(xiàn)是DE的中點，H是AB上的一點，滿足AH=3HB．
（1）求證：FH∥平面DBC；
（2）求二面角B-CE-D的正弦值．

8．已知曲線C上的任意點M（x，y）與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離的比為$\frac{1}{2}$
（1）求曲線C的方程；
（2）已知直線x-y+2=0與曲線C交于E，F(xiàn)兩點，求三角形EOF的面積．

7．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直線y=x+$\sqrt{2}$與以原點為圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓O相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線x=$\frac{1}{2}$與橢圓C交于不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓D，若圓D與y軸相交于不同的兩點A，B，求△ABD的面積；
（3）如圖，A₁，A₂，B₁，B₂是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線B₂P交x軸于點F，直線A₁B₂交A₂P于點E，設(shè)A₂P的斜率為k，EF的斜率為m，求證：2m-k為定值．

6．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點F₁，F(xiàn)₂，D為橢圓上任意一點，△DF₁F₂面積的最大值為1，橢圓離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)T為直線x=2上任意一點，過右焦點F₂作直線TF₂的垂線交橢圓E于點P，Q，線段PQ中點為N，證明：O，N，T三點共線（O為坐標原點）．