15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過(guò)這兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓O和橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知P，Q分別是橢圓C和圓O上的動(dòng)點(diǎn)（P，Q位于y軸兩側(cè)），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點(diǎn)M，N．求證：∠MQN為定值．

14．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓右頂點(diǎn)到直線x+y+$\sqrt{3}$=0的距離為$\sqrt{6}$，離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知A為橢圓與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，設(shè)直線l：y=x+m，是否存在實(shí)數(shù)m，使直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，是|AM|=|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，對(duì)角線AC與BD分別過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁（-1，0）和右焦點(diǎn)F₂（1，0），且AC⊥BD，橢圓的一條準(zhǔn)線方程為x=4．
（1）求橢圓的方程；
（2）求四邊形ABCD面積的取值范圍．

12．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）它的離心率為$\frac{1}{2}$，一個(gè)焦點(diǎn)是（-1，0），過(guò)直線x=4上一點(diǎn)引橢圓E的兩條切線，切點(diǎn)分別是A、B．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若在橢圓E$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程是$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$=1．求證：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅲ）記點(diǎn)C為（Ⅱ）中直線AB恒過(guò)的定點(diǎn)，問(wèn)否存在實(shí)數(shù)λ，使得|$\overrightarrow{AC}$+|$\overrightarrow{BC}$|=λ|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{BC}$|成立，若成立求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

11．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）它的離心率為$\frac{1}{2}$，一個(gè)焦點(diǎn)是（-1，0），過(guò)直線x=4上一點(diǎn)引橢圓E的兩條切線，切點(diǎn)分別是A、B．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若在橢圓E$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程是$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$=1．求證：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)C，并求出定點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（Ⅲ）求證：|AC|+|BC|=$\frac{4}{3}$|AC|•|BC|（點(diǎn)C為直線AB恒過(guò)的定點(diǎn)）．

10．已知橢圓C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），其焦距為2．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，P 為直線x=2 上一點(diǎn)．直線PF₁，PF₂與圓x²+y²=1的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為M、N 兩點(diǎn)，求證：直線MN 恒過(guò)一定點(diǎn)．

9．設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（4-x）（x∈R），且當(dāng)x＞2時(shí)f（x）為增函數(shù)，記a=f（1.1^0.5），b=f（0.5^1.1），c=f（log_0.5$\frac{1}{16}$），則a、b、c的大小關(guān)系為（　�。�

A．

c＜b＜a

B．

c＜a＜b

C．

b＜a，c

D．

a＜b＜c

8．在數(shù)列{a_n}中，設(shè)a_n+1+3a_n=0，且a₁=-1，求{a_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式．

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，直線l：$\frac{x}{12}$+$\frac{y}{8}$=1．
（I）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求橢圓C與直線l的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知P是l上一動(dòng)點(diǎn)，射線OP交橢圓C于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|•|OP|=|OR|²．當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q在直角坐標(biāo)系下的軌跡方程．

6．已知二次函數(shù)y=-x²+4x-3，當(dāng)x＞-1時(shí)，不等式f（x）-1≤（x+1）f（b）恒成立，求實(shí)數(shù)b的最大值．