直線y=x+1被雙曲線x2-

y2

4

=1截得的弦長(zhǎng)______．

連接拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F與點(diǎn)M（0，1）所得的線段與拋物線交于點(diǎn)A，設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAM的面積為______．

證明：橢圓

x2

4

+

y2

3

=1與直線y=kx+2至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是______．

為響應(yīng)政府“還家鄉(xiāng)青山綠水，走生態(tài)發(fā)展之路”的號(hào)召，某縣兩村F₁、F₂準(zhǔn)備種植圍繞村莊的防護(hù)林，如圖，在與兩個(gè)村同一條直線上有兩個(gè)機(jī)井A₁，A₂，兩村在兩個(gè)機(jī)井之間，每個(gè)村到兩機(jī)井的距離都分別為3千米與1千米，根據(jù)現(xiàn)有地理特點(diǎn)，兩村擬定每個(gè)種植點(diǎn)距兩村距離和等于兩機(jī)井間距離．
（Ⅰ）請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出種植點(diǎn)所在的曲線方程；
（Ⅱ）已知過F₂村有一條小路l，且斜率為1，試求在小路l上的兩個(gè)種植點(diǎn)間距離．

設(shè)橢圓 C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線 C₂：x2=4

3

y 的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率 e=

1

2

，過橢圓右焦點(diǎn) F₂的直線 l 與橢圓 C 交于 M，N 兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線 l，使得 

OM

•

ON

=-2，若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由．

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，

2

2

）在橢圓上，且

PF1

•

F1F2

=0，⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，并且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)

OA

•

OB

=λ，且滿足

2

3

≤λ≤

3

4

時(shí)，求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍．

橢圓

x2

6

+

y2

2

=1和雙曲線

x2

3

-y²=1的公共焦點(diǎn)為F₁、F₂，P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，那么cos∠F₁PF₂的值是______．

過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，作傾斜角為

π

4

的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△POQ的面積為______．

求過定點(diǎn)P（0，1）且與拋物線y²=2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程．

已知拋物線C₁的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F₁且垂直于C₂的兩個(gè)焦點(diǎn)所在的軸，若拋物線C₁與橢圓C₂的一個(gè)交點(diǎn)是M（

2

3

，

2 6

3

）．求拋物線C₁及橢圓C₂的方程．