【題目】定義一：對于一個函數，若存在兩條距離為的直線和，使得時，恒成立，則稱函數在內有一個寬度為的通道.

定義二：若一個函數對于任意給定的正數，都存在一個實數，使得函數在內有一個寬度為的通道，則稱在正無窮處有永恒通道.

下列函數①；②；③；④；⑤. 其中在正無窮處有永恒通道的函數序號是 .

【題目】已知函數。

（1）若是曲線的切線,求的值；

（2）若,求的取值范圍.

【題目】對于任意，若數列滿足，則稱這個數列為“K數列”.

（1）已知數列：，，是“K數列”，求實數的取值范圍；

（2）設等差數列的前項和為，當首項與公差滿足什么條件時，數列是“K數列”？

（3）設數列的前項和為，，且，. 設，是否存在實數，使得數列為“K數列”. 若存在，求實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【題目】已知函數

（1）當時，求函數的極值；

（2）求的單調區(qū)間.

【題目】給定函數和，若存在常數，，使得函數和對其公共定義域的任何實數分別滿足和，則稱直線：為函數和的“隔離直線”，給出下列四組函數：

（1），； （2），；

（3），； （4），；

其中函數和存在“隔離直線”的序號是（ ）

A.（1）（3）B.（1）（3）（4）C.（1）（2）（3）D.（2）（4）

【題目】已知函數，.

(1)討論函數的零點個數；

(2)求證：.

其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現。在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要更換相互獨立），三級濾芯無需更換，若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯，則一級濾芯每個元，二級濾芯每個元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯，則一級濾芯每個元，二級濾芯每個元�，F需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購濾芯的數量，為此參考了根據套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內更換濾芯的相關數據制成的圖表，其中圖是根據個一級過濾器更換的濾芯個數制成的柱狀圖，表是根據個二級過濾器更換的濾芯個數制成的頻數分布表.

二級濾芯更換頻數分布表

以個一級過濾器更換濾芯的頻率代替個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以個二級過濾器更換濾芯的頻率代替個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.

（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為的概率；

（2）記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的一級濾芯總數，求的分布列及數學期望；

（3）記，分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數.若，且，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據，試確定，的值.

【題目】已知函數,且圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.

(1)求的值；

(2)求方程在上的解的集合；

(3)將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，若在上單調遞減，求的取值范圍.

【題目】已知圓：，點，直線.

(1)求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；

（2）在直線上（為坐標原點），存在定點（不同于點），滿足：對于圓上的任一點，都有為一常數，試求出所有滿足條件的點的坐標.

【題目】設復平面上點對應的復數 （為虛數單位）滿足，點的軌跡方程為曲線. 雙曲線:與曲線有共同焦點，傾斜角為的直線與雙曲線的兩條漸近線的交點是、，，為坐標原點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）求直線的方程；

（3）設△PQR三個頂點在曲線上，求證：當是△PQR重心時，△PQR的面積是定值.