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【題目】遼寧省六校協(xié)作體(葫蘆島第一高中、東港二中、鳳城一中、北鎮(zhèn)高中、瓦房店高中、丹東四中)中的某校理科實(shí)驗(yàn)班的100名學(xué)生期中考試的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于100分,其中語文成績的頻率分布直方圖如圖所示,成績分組區(qū)間是:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].
這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)之比如下表所示:
分組區(qū)間 | [100,110) | [110,120) | [120,130) | [130,140) |
1:2 | 2:1 | 3:4 | 1:1 |
(1)估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均數(shù)、方差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)從數(shù)學(xué)成績在[130,150] 的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,該2人中數(shù)學(xué)成績在[140,150]的人數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.
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【題目】若無窮數(shù)列滿足對所有正整數(shù)成立,則稱為“數(shù)列”,現(xiàn)已知數(shù)列是“數(shù)列”.
(1)若,求的值;
(2)若對所有成立,且存在使得,求的所有可能值,并求出相應(yīng)的的通項(xiàng)公式;
(3)數(shù)列滿足,證明:是等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)是等差數(shù)列。
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【題目】橢圓的焦距是,長軸長是短軸長3倍,任作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(如圖所示),且點(diǎn)在直線的左上方.
(1)求橢圓的方程;
(2)若,求的面積;
(3)證明:的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上。
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【題目】如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm,容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10cm,容器Ⅱ的兩底面對角線EG,E1G1的長分別為14cm和62cm. 分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均為12cm. 現(xiàn)有一根玻璃棒l,其長度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì))
(1)將l放在容器Ⅰ中,l的一端置于點(diǎn)A處,另一端置于側(cè)棱CC1上,求l沒入水中部分的長度;
(2)將l放在容器Ⅱ中,l的一端置于點(diǎn)E處,另一端置于側(cè)棱GG1上,求l沒入水中部分的長度.
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【題目】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件,為激發(fā)大家的學(xué)習(xí)興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng),這款軟件的激活碼為下列數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……,其中第一項(xiàng)是,接下來的兩項(xiàng)是,再接下來的三項(xiàng)是,……,以此類推,求滿足如下條件的最小整數(shù)且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪,那么該軟件的激活碼是________。
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【題目】某公司為了變廢為寶,節(jié)約資源,新上了一個(gè)從生活垃圾中提煉生物柴油的項(xiàng)目.經(jīng)測算該項(xiàng)目月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為:,且每處理一噸生活垃圾,可得到能利用的生物柴油價(jià)值為元,若該項(xiàng)目不獲利,政府將給予補(bǔ)貼.
(1)當(dāng)時(shí),判斷該項(xiàng)目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則政府每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損?
(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低?
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線,圓,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線的極坐標(biāo)方程為,設(shè)的交點(diǎn)為A,B,求的面積.
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【題目】已知橢圓:()的離心率為,且過點(diǎn),橢圓的右頂點(diǎn)為.
(Ⅰ)求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)為,求直線的斜率的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣a|+3x,其中a>0.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>3x+2的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤﹣1},求a的值.
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