科目： 來源：2013年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計生產(chǎn)一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，ABCD（AB＞AD）為長方形薄板，沿AC折疊后，AB'交DC于點P．當(dāng)△ADP的面積最大時最節(jié)能，凹多邊形ACB'PD的面積最大時制冷效果最好．
（1）設(shè)AB=x米，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；
（2）若要求最節(jié)能，應(yīng)怎樣設(shè)計薄板的長和寬？
（3）若要求制冷效果最好，應(yīng)怎樣設(shè)計薄板的長和寬？

科目： 來源：2013年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

已知數(shù)列{a_n}中，a₂=1，前n項和為S_n，且．
（1）求a₁，a₃；
（2）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并寫出其通項公式；
（3）設(shè)，試問是否存在正整數(shù)p，q（其中1＜p＜q），使b₁，b_p，b_q成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組（p，q）；若不存在，說明理由．

科目： 來源：2013年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

已知左焦點為F（-1，0）的橢圓過點E（1，）．過點P（1，1）分別作斜率為k₁，k₂的橢圓的動弦AB，CD，設(shè)M，N分別為線段AB，CD的中點．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P為線段AB的中點，求k₁；
（3）若k₁+k₂=1，求證直線MN恒過定點，并求出定點坐標(biāo)．

科目： 來源：2013年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=-ax（x＞0且x≠1）．
（1）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；
（2）若?x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f'（x₂）+a成立，求實數(shù)a的取值范圍．

科目： 來源：2013年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若AD是△ABC的高，AE是⊙O的直徑，F(xiàn)是的中點．求證：
（1）AB•AC=AE•AD；
（2）∠FAE=∠FAD．

科目： 來源：2013年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

選修4-2：矩陣與變換
已知曲線C&：y²=2x，在矩陣M=對應(yīng)的變換作用下得到曲線C₁，C₁在矩陣N=對應(yīng)的變換作用下得到曲線C₂，求曲線C₂的方程．

科目： 來源：2013年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

已知極坐標(biāo)系的極點在直角坐標(biāo)系的原點，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=2，直線l的參數(shù)方程為試在曲線C上求一點M，使它到直線l的距離最大．

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選修4-5：不等式選講
已知a＞0，b＞0，且2a+b=1，求的最大值．

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如圖，已知定點R（0，-3），動點P，Q分別在x軸和y軸上移動，延長PQ至點M，使，且．
（1）求動點M的軌跡C₁；
（2）圓C₂：x²+（y-1）²=1，過點（0，1）的直線l依次交C₁于A，D兩點（從左到右），交C₂于B，C兩點（從左到右），求證：為定值．

科目： 來源：2013年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

已知數(shù)列{a_n}滿足：．
（1）若a=-1，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a=3，試證明：對?n∈N^*，a_n是4的倍數(shù)．