9.如圖所示,從A點(diǎn)以v0=4m/s的水平速度拋出一質(zhì)量m=1kg的小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn)),當(dāng)物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí),恰好沿切線方向進(jìn)入光滑圓弧軌道BC,經(jīng)圓弧軌道后滑上與C點(diǎn)等高、靜止在粗糙水平面的長(zhǎng)木板上,滑上長(zhǎng)木板時(shí)速度大小為6m/s.圓弧軌道C端切線水平,已知長(zhǎng)木板的質(zhì)量M=2kg,物塊與長(zhǎng)木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.5,長(zhǎng)木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.1,圓弧軌道半徑R=0.75m,OB與豎直方向OC間的夾角θ=37°,(g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8)求:
(1)小物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)的速度大小和方向;
(2)小物塊滑動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力;
(3)長(zhǎng)木板至少為多長(zhǎng),才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板.

分析 (1)已知平拋的拋出高度和落地速度方向,求落地的速度大小和方向,用運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解;
(2)小物塊在BC間做圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng),在C點(diǎn)時(shí)軌道支持力和重力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,據(jù)此結(jié)合牛頓第三定律求解即可;
(3)當(dāng)小物塊在長(zhǎng)木板上運(yùn)動(dòng)時(shí),由于小物塊對(duì)木板的摩擦力大于地面對(duì)木板的摩擦力,所以木板也要做加速運(yùn)動(dòng),結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出長(zhǎng)木板的最短長(zhǎng)度.

解答 解:(1)在B點(diǎn),因小物塊恰好沿切線方向進(jìn)入光滑圓弧軌道BC,所以速度的方向與水平方向之間的夾角為θ=37°,有:
v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{4}{0.8}$=5m/s
與水平方向夾角37°
(2)小物體在C點(diǎn)的速度vC=6m/s,在C點(diǎn),支持力與重力的合力提供向心力,設(shè)軌道對(duì)小物體的支持力為N,有:
N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得:N=58N
根據(jù)牛頓第三定律,小物塊對(duì)C點(diǎn)的壓力大小為58N
(3)小物塊在木板上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為:
a1=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=0.5×10=5m/s2
木板在地面上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為:
a2=$\frac{{μ}_{1}mg-{μ}_{2}(M+m)g}{M}$=$\frac{0.5×1×10-0.1×(1+2)×10}{2}$=1m/s2
設(shè)小物塊與木板達(dá)到共速時(shí)的速度為v′,
對(duì)小物塊有:v′=v-a1t,
對(duì)木板有:v′=a2t,
聯(lián)立解得:t=1s
小物塊的位移為:x1=vt-$\frac{1}{2}$a1t2=6×1-$\frac{1}{2}$×5×1=3.5m
木板的位移為:x2=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}$×1×1=0.5m
木板的最短長(zhǎng)度L與兩者之間的位移關(guān)系有:L=x1-x2
聯(lián)立解得:L=3m
答:(1)小物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)的速度大小為5m/s,方向與水平方向夾角37°;
(2)小物塊滑動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力為58N;
(3)長(zhǎng)木板至少為3m時(shí),才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板.

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要理清物塊在多個(gè)不同運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,要注意對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分段,掌握物塊各個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵,注意相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析,同時(shí)要注意牛頓第三定律的應(yīng)用,這是一個(gè)較容易忽視的問(wèn)題.

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A.$\frac{{{{({S_1}+{S_2})}^2}}}{{4{S_2}}}$B.$\frac{{{{({S_1}+{S_2})}^2}}}{{4{S_1}}}$
C.$\frac{{{S_1}^2}}{{4({S_1}+{S_2})}}$D.$\frac{{{{({S_1}+{S_2})}^2}}}{{({S_1}-{S_2}){S_1}}}$

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